Como o Google Earth e o GPS calculam áreas

Introdução

O ser humano sempre tentou explicar o mundo à sua volta. Na antiguidade, os fenômenos naturais foram concebidos, primeiramente, de forma mitológica, ficando assim durante muito tempo. As concepções mitológicas só começaram a ser questionadas no ocidente pela filosofia grega, um dos três fundamentos da sociedade ocidental (os outros dois são direito romano e religião judaica-cristã).

Depois que a filosofia grega questionou a mitologia, o ocidente ainda ficaria muito tempo nas trevas, com a ciência se desenvolvendo a passos de formiga, muito por influência da Igreja Católica. A ciência só se desenvolveria a passos largos a partir do Iluminismo, movimento dos séculos XVII e XVIII que valorizou a razão, se opôs ao absolutismo dos reis e foi antropocêntrico.

O Iluminismo trouxe suas explicações para os fenômenos da natureza ou para outros a eles relacionados. Muitas delas as crianças têm curiosidade de saber. Desde muito pequena ela vê o mundo a sua volta e se pergunta “Como pode o barco boiar na água?”, “Como pode o avião voar?”, “Como pode o carro andar?”, “Por que o ventilador roda?”, entre outras perguntas. Essa curiosidade natural é minada pela escola com sua pedagogia tradicional e engessada. Essa pedagogia é feita para adestrar o aluno em exercícios idealizados e não o estimula a questionar, investigar, problematizar, qualidades que seriam necessárias para alimentar a curiosidade da criança. Não é só esse estilo de pedagogia que mina a curiosidade da criança, mas também explicações muito complexas, carregadas e pesadas.

E você: ainda tem o desejo de entender os fenômenos da natureza? Estando em um mundo imerso em tecnologia, já se perguntou como o GPS e o Google Earth calculam áreas? . O objetivo dessa página é explicar como o GPS e o Google Earth calculam áreas de um jeito leve e simples.

 

1. O Google Earth e o cálculo de áreas

Vamos detalhar aqui, de maneira resumida, como o Google Earth faz o cálculo de áreas:

  1.1  Modelo da Terra:

A primeira coisa que você tem que saber para entender como  o Google Earth calcula áreas é que o mesmo considera a Terra como uma esfera ou elipsoide (geralmente o modelo WGS84), que é uma aproximação matemática da forma do planeta.

 1.2  Criação do Polígono:

A pessoa marca os pontos no mapa, formando um polígono sobre a superfície terrestre. Esses pontos têm coordenadas geográficas (latitude e longitude).

 1.3  Projeção para um Plano:

O Google Earth converte esse polígono 3D (sobre a superfície curva) para um modelo plano, usando uma projeção cartográfica. Isso facilita os cálculos geométricos.

1.4  Divisão em Triângulos:

O polígono é dividido em vários triângulos. Este método é chamado de "triangulação". Os elementos dos triângulos são simples de calcular, porque suas dimensões podem ser determinadas pelas coordenadas dos vértices.

 1.5 Cálculo da Área:

Se o polígono é projetado em um plano, a área de cada triângulo é calculada usando a fórmula padrão para triângulos no plano cartesiano:

Logo,

Para se achar a área total do polígono é só somar a área de todos os triângulos.

2. O Cálculo de Áreas pelo GPS

Vamos detalhar aqui como o GPS calcula áreas:

2.1 Coleta dos Pontos:

A pessoa caminha ao redor da área desejada e o dispositivo GPS registra uma série de pontos georreferenciados, com coordenadas de latitude e longitude, ao longo do perímetro da área. Esses pontos formam o contorno de um polígono.

 2.2 Projeção do Polígono:

O GPS assume a Terra como uma esfera ou elipsoide. Para fazer os cálculos, o GPS converte as coordenadas geográficas (latitude/longitude) desses pontos para um sistema de coordenadas no plano (geralmente em um formato cartesiano, como X e Y). Essa projeção simplifica o cálculo da área, mas ignora curvaturas mais complexas e elevações no terreno.

2.3 Divisão em Triângulos

A área do polígono é calculada por uma fórmula matemática chamada Algoritmo do Shoelace (ou "Fórmula do Laço"). Usando essa fórmula, o GPS calcula a área do polígono somando as áreas formadas pelas conexões entre os pontos. A fórmula envolve multiplicar as coordenadas x de cada ponto por sua coordenada y adjacente e subtrair o produto inverso. Esse processo é repetido para todos os pontos até que a área total seja determinada.

 2.4 Explicando a Fórmula do Shoelace

Passos para se calcular a área do triângulo pela Fórmula do Shoelace:

2.4.1 Coletar as coordenadas dos vértices do polígono:

• O polígono é composto por um conjunto de n vértices e cada vértice tem uma coordenada (xi,yi), onde i é o índice do ponto.
• As coordenadas dos vértices do polígono são listadas em ordem (horária ou anti-horária) e o último ponto deve ser igual ao primeiro para fechar o polígono.

Por exemplo, suponha que temos um polígono formado por 4 pontos:

2.4.2  Organizar os pontos:

 Organize as coordenadas (x,y) dos vértices em duas colunas: uma para x e outra para y, com o primeiro ponto sendo repetido no final.

2.4.3 Multiplicar as coordenadas cruzadas

Para calcular a área, fazemos dois produtos cruzados:

Produto direto: multiplicamos $x_i$ por $y_{i+1}$, ou seja, a coordenada x de um ponto pela coordenada y do próximo e somamos os resultados. Para último ponto, a ordenada a ser multiplicada é a do primeiro ponto.

Produto inverso: multiplicamos y_i por x_i+1, ou seja, a coordenada y de um ponto pela coordenada x do próximo ponto e somamos os resultados. De modo análogo ao do caso anterior, para o último ponto, a abscissa abscissa a ser multiplicada é a do primeiro ponto.

Ou seja, as somas serão assim:

2.4.4 Calcular a área

 Finalmente, a área do polígono é dada pela diferença entre o produto direto e o produto inverso, dividida por 2 e tomando o valor absoluto (pois a área é sempre positiva):

Para pensar ...

Aos colegas professores ou futuros professores, você já pensou que o tema desta postagem pode ser um motivador interessante para o trabalho com Geometria?